Fue el tercer hijo varón de Marcelino Gálvez y Matilde Orlando, un matrimonio de inmigrantes españoles, nació el 17 de agosto de 1913 y junto a su hermano Juan llevaron su apellido a lo más alto del deporte argentino. Fueron exitosos arriba y abajo del auto. Trascendieron por ser tan buenos mecánicos como pilotos. Aunque el que abrió el camino fue Oscar, quien a los 10 años, daba una mano en el taller familiar y cuando cumplió 21, adquirió junto a Juan un Ford T modelo 1927 por 150 pesos. Lo usaban para correr picadas y lo guardaban en el galpón de un amigo porque sus padres no querían que corrieran. “¿Estás loco? Te vas matar”, les advirtió su madre.
Desoyendo el consejo materno, Oscar y Juan pusieron su propio taller donde alistaron autos para correr. Luego llegó el primero de los hitos de Oscar. El 5 de agosto de 1937 formó parte de la primera carrera del Turismo Carretera. Participó con un Ford modelo 1935 con el Nº 58 en sus puertas. Empleó 3h01m01s para los primeros 361 kilómetros. Su velocidad promedio fue de 119,756 km/h yendo a Rosario, llegando sexto y superando rivales en un auto pobre para la época. Hasta que en la segunda etapa sufrió la rotura del radiador y luego abandonó por un vuelco.
Corrieron los años y los Gálvez se siguieron destacando como pilotos-preparadores. Era una época donde no había ingenieros de pista, chasistas o cualquier otro técnico que ponga a punto un auto como ahora. El ser artesanos en sus coches les dio a los hermanos la capacidad de hacer arreglos extremos en carrera como por ejemplo, cuando Oscar llegó a cambiar una caja de velocidades en 28 minutos en el Gran Premio Internacional del Norte en 1940. También se impuso en otros GP históricos como el Internacional (1947) que unió Don Torcuato, Chile y Luján. Además venció en el segundo tramo del GP de la América del Sur (1948) que partió de Lima y terminó en Luján.
En 1947 logró el primero de sus cinco campeonatos de TC y repitió en 1948, 1953, 1954 y 1961, siendo el cuarto piloto con más títulos ganados. A su vez alcanzó seis subcampeonatos y es el cuarto en la tabla histórica de ganadores con un total de 43 victorias en 169 carreras (un triunfo cada cuatro competencias), detrás de su hermano Juan (56), Roberto José Mouras (50) y Juan María Traverso (46). El Aguilucho compitió entre 1937 y 1964 (23 temporadas).
Entre sus gloriosas temporadas de TC llegó un hecho que marcó su historia y la del deporte motor criollo. El 6 de febrero de 1949 fue el primer corredor argentino en ganarle a los europeos en lo que eran las competencias de Grand Prix, la precuela de la Fórmula 1 que nació al año siguiente. Fue conduciendo un Alfa Romeo 8C 308 en un circuito callejero en el Parque 3 de Febrero en Palermo y bajo una lluvia torrencial. En la Máxima también tuvo su participación de forma oficial en lo que fue el primer Gran Premio de la República Argentina puntuable, corrido el 18 de enero de 1953 en el flamante Autódromo de Buenos Aires. Ese día el porteño a bordo de una Maserati fue quinto y sumó dos puntos. Ante 160.000 espectadores (récord histórico en el Autódromo) terminó detrás de varias figuras de la categoría en ese entonces como el ganador, el italiano Alberto Ascari (Ferrari), su compatriota Luigi Villoresi (Ferrari), el argentino José Froilán González (Maserati) y el inglés Mike Hawthorn (Ferrari). Juan Manuel Fangio (Maserati) abandonó por fallas en la transmisión.
Se retiró a los 51 años, en la Vuelta de Junín el 18 de octubre de 1964 manejando un Ford Falcon con el que abandonó en el segundo giro por problemas mecánicos. “El factor principal de mi retiro fue la muerte de mi hermano Juan. Ahí mis amigos y mi familia y mis hijos me decían ‘no corras más, te va a pasar como a Juancito, te van a traer en un cajón a vos también’. Corrí un año más y luego dejé de correr”, aseguró Gálvez en su momento.
También se destacó por ser un adelantado. Fue el pionero en nuestro país en usar casco y cinturón de seguridad. Lo propio en armar una jaula antivuelco y trabas en las puertas del coche. También fue el primero a nivel nacional en pintar una publicidad en su auto. Por caso, el día que le ganó a los europeos en Palermo su monoposto llevó el patrocinio de una conocida cerveza, dinero que le sirvió para pagar aquél Alfa Romeo por 35.000 pesos.
Todos sus títulos fueron con Ford y por eso los hermanos Gálvez son los ídolos máximos de la marca en el TC. El domingo 12 de marzo de 1989 llegó el homenaje en vida que siempre se mereció: el autódromo de su ciudad y el más importante del país fue rebautizado con su nombre. Primero se hizo un acto oficial en la Legislatura Porteña. De ahí partió una caravana hacia el circuito capitalino encabezada por Oscar sobre su vieja cupecita Ford.